Шрифт:
+
,
g
,
,
(6.4.1)
но когда все операции сложения и вычитания, жонглирования индексами проведены, выполнена симметризация, мы находим
[,]'
=
[,]
+
[,]
,
+
[,]
,
+
+
[,]
,
+
[,]
,
–
g
,
,
(6.4.2)
где появляется только одна вторая производная ,. Теперь мы должны избавиться от компонент метрического тензора с нижними индексами, умножая на обратную матрицу. Сначала введём новое обозначение, которое упростит преобразования. Мы положим
g
[,]
=
.
(6.4.3)
Если мы умножаем соотношение (6.4.2) на g для того, чтобы отделить оставшуюся вторую производную, то соотношение принимает вид, где используются новые символы (называемые коэффициентами голономной связности или символами Кристоффеля)
'
=
+
,
+
,
–
,
+
+
,
–
,
.
(6.4.4)
Это соотношение автоматически симметрично по . Для того, чтобы продвинуться дальше в наших рассуждениях, продифференцируем ещё раз. Если мы дифференцируем это соотношение по новому индексу и вычитаем соответствующее уравнение, имеющее переставленные индексы и , то только следующие члены остаются не сокращёнными при этом вычитании
,
'
–
,
'
=
,
,
+
,
,
+
,
+
+
,
–
,
–
– минус члены, где индексы и переставлены.
(6.4.5)
Теперь трюк заключается в том, чтобы избавиться от двух вторых производных. Они умножаются на индексы Кристоффеля. Но в соотношении (6.4.4) мы имеем выражение, которое даёт как раз ,. Мы будем использовать это выражение для того, чтобы заместить члены на те, которые стоят в соотношении (6.4.5). Это может быть выполнено путём вычисления произведения двух соотношений, таких как (6.4.4); мы видим, что индексы у символов Кристоффеля одного члена такие же, как и индексы у в другом члене; так что взяв произведения двух соотношений (6.4.4), одно из которых берётся со множеством индексов , другое со множеством , переставляя (,,) и складывая с соотношением (6.4.5), вторые производные сокращаются.
Введём новую величину R, определённую следующим образом
R
=
,
+
–
,
–
.
(6.4.6)
Заметим, что этот тензор явно антисимметричен по индексам и . Используя это обозначение, получаем наконец следующее соотношение
R'
=
R
+
,
R
+
,
R
+
+
,
R
+
,
R
+
R
,
.
(6.4.7)
То, что мы должны теперь делать, это обращаться с этим уравнением так же, как мы обращались с уравнением (6.3.5), которое имеет ту же самую форму, исключая то, что тензор в последнем соотношении предпочтительнее включать тензор R, а не g. Процедура, полностью аналогичная той, которая была рассмотрена ранее, приводит к ответу для инвариантной величины F:
F
=-
1
2^2